Подобные треугольники


Подобные треугольникитреугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника


Коэффициентом подобия называют число , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников


Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников


Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

II признак подобия треугольников


Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

III признак подобия треугольников


Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны

Свойства подобных треугольников

  • Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия

  • Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия


  • Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Примеры

Через точки и принадлежащие сторонам и треугольника соответственно, проведена прямая параллельная стороне Найдите длину если и
Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как Периметр образовавшегося треугольника равен Найдите периметр данного треугольника.
Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами и проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислите площади образовавшихся треугольников.
Из одной точки проведены к кругу две касательные. Длина касательной равна а расстояние между точками касания равно Найдите радиус круга.
В трапеции меньшая диагональ равная перпендикулярна основаниям и Найдите сумму тупых углов и
Основания трапеции равны и Определите длину отрезка, параллельного основаниям и делящего трапецию на равновеликие части.
Задачи для самостоятельной работы